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Transformações Geométricas no Plano -Professor Dr. Paulo Cesar de Oliveira

Para resolver um problema de determinação é preciso conhecer, com grande exatidão, as suas partes principais, a incógnita, os dados e a condicionante, ou seja, as circunstâncias que devem ser observadas no enunciado. George Polya

Compartilho com Vocês este partes do artigo enriquecedor de autoria do Professor Dr. Paulo Cesar de Oliveira docente do curso de Licenciatura em Matemática na Universidade Federal de São Carlos(UFSCar), campus Sorocaba,em conjunto com a discente do curso de Licenciatura em Matemática na Universidade Federal de São Carlos
(UFSCar), campus Sorocaba.

Leia o artigo na integra no link abaixo:

artigo EMEM Transformações no Plano

 

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO PLANO

Júlia Mayumi Uno1
Paulo César Oliveira2

 

RESUMO

Este relato de experiência tem como objetivo apresentar uma possibilidade de ação
docente, mediante a resolução de dois problemas por alunos de sexto e sétimo ano do
Ensino Fundamental, sob a perspectiva de George Polya. Um problema relacionou o
conteúdo de simetria por reflexão e o outro a homotetia. O episódio envolvendo o
tratamento desses problemas em sala de aula constituiu um dos instrumentos de
avaliação elaborado pelo segundo autor deste texto, na disciplina Metodologia e Prática
do Ensino de Matemática, oferecida no 6° semestre do curso de Licenciatura em
Matemática da UFSCar, cuja autora foi aluna. Com atribuição de aulas em turmas dos
anos finais do Ensino Fundamental, a autora deste relato escolheu os dois problemas
com base nos conteúdos programáticos previstos e desenvolvidos de acordo com o livro
didático adotado na escola da rede particular de Sorocaba, no estado de São Paulo.
Durante a realização da sequência didática envolvendo os problemas, os diálogos entre
os alunos e professora foram gravados em áudio e utilizados com a produção escrita dos
estudantes na composição desse relatório. Para a análise da produção de informações,
adotamos as quatro etapas fundamentais e necessárias para a resolução de problemas:
compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do plano e
retrospecto. Na interpretação das informações disponíveis vimos que na turma do 7o ano,
apesar de intervirmos na forma de apresentar o problema para a turma com o intuito de
despertar o raciocínio dos alunos para o estabelecimento e execução de um plano de
resolução, os mesmos se mostraram desinteressados por conta da professora não
atribuir nota de modo a favorecer a média do último bimestre do ano letivo, período em
que foram abordados os problemas.

OS PROBLEMAS PROPOSTOS E O CONTEXTO ESCOLAR

No colégio da rede particular de Sorocaba, no qual atua a autora deste
relato com atribuição de aulas de matemática do 6° ao 9° ano do Ensino
Fundamental, é utilizado o livro didático Projeto Araribá Plus (SÃO PAULO, 2014).
Em relação ao estudo das transformações geométricas, nesse livro
didático, destacam-se as ampliações e reduções de figuras, incluída aí a
homotetia, com a noção de simetria de reflexão realizada por meio de dobraduras
e de construção em malhas quadriculadas. A propriedade da simetria de reflexão
é abordada no material didático do 6° ano, enquanto a homotetia é tratada no 9°
ano do Ensino Fundamental.
O primeiro problema formulado foi utilizado com a turma do 6° ano do
Ensino Fundamental. Seu enunciado original é de autoria de Vieira, Paulo e
Allevato (2013) e com a adaptação que fizemos, segue sua formulação: “O Corpo
de Bombeiros da cidade renovou sua frota de ambulâncias. Para facilitar a
identificação dos veículos nas ruas da cidade, o chefe da corporação pediu para
que fosse pintada na parte frontal das ambulâncias a palavra RESGATE, mas de
forma que qualquer motorista pode identificar o veículo oficial através do espelho
retrovisor de seu carro. De que maneira a palavra RESGATE deve ser pintada
nas ambulâncias para que o motorista do carro à frente consiga ler corretamente
a palavra pintada através de seu espelho retrovisor? Seguindo os mesmos
padrões, o chefe também pediu que pintassem caminhões com a palavra
BOMBEIROS. Como ela deve ser pintada?”
Tomando por base os pressupostos teóricos de Polya (1978) a heurística
deste problema pode ser baseada no uso de um espelho, de modo que os alunos
percebam o que acontece quando uma imagem é refletida nele. Espera-se que
eles observem que a figura fica invertida em relação à original e que, com isso,
consigam imaginar como seria o reflexo de uma imagem sem ao menos precisar
de um espelho. É muito provável que haja mais de uma solução proposta pelos
alunos.
Propusemos o segundo problema para a turma de 7° ano do Ensino
Fundamental, embora o conceito de homotetia seja abordado no material didático
do 9° ano. No 7° ano os alunos já apresentaram saberes prévios (ângulos,
medidas, razões e proporções); os quais permitem que o aluno resolva o
problema envolvendo homotetia.

O conteúdo do enunciado é: „Um arquiteto recebeu uma planta de um
cômodo na escala 1:100 e deve modificá-la até obter uma escala de 1:50. Ele
deve aumentar ou diminuir as dimensões da planta? Em quantas vezes?‟
Para tornar a resolução desse problema mais interessante, o professor
pode propor que os alunos desenhem a planta de um cômodo simples numa folha
quadriculada e troquem entre si, para que cada um amplie o desenho do colega.
É importante que, ao final da resolução, os alunos percebam que as dimensões
da planta aumentaram proporcionalmente, ou seja, a figura não foi deformada,
apenas mudou dobrou de tamanho.

PROBLEMA ENVOLVENDO A SIMETRIA DE REFLEXÃO

Esse problema foi trabalhado com a turma do 6º ano, composta por 17
alunos. Após a leitura do problema, os alunos se prontificaram em discutir
caminhos para a resolução.
Em meio à tarefa de resolução de problemas, a postura desta professora
centrou-se em minimizar a intervenção na forma dos alunos tentarem alcançar a
solução. Ao refletir sobre as atitudes dos meus alunos e confrontar com a ideia de
heurística que Polya (1978) defendeu como a arte da descoberta, o que mais me
impressionou foi a criatividade dos alunos para estabelecer um plano de
resolução. Mesmo sem espelho, a maioria dos alunos conseguiu verificar a
solução de várias maneiras diferentes.
A execução do plano envolveu o uso do celular para tirar uma foto da
resposta julgada correta e ao invertê-la utilizando um aplicativo de edição de
fotos, escreveram a palavra no verso da folha de sulfite. Através dela,
conseguiram escrever ao contrário, observaram o reflexo da folha na porta da
sala de aula, a qual é espelhada por conta do insulfilm. Esta atitude dos alunos
condiz com a etapa do retrospecto proposto por Polya (1978) que visa a
reavaliação da solução encontrada.
A seguir apresentamos duas produções escritas (Figura 1 e 2) com
requintes artísticos:

12

Como esperado, surgiram soluções diferentes. Alguns alunos
esqueceram de inverter uma ou duas letras na palavra. Ao serem questionados
sobre o que a etapa do retrospecto da solução revelou, os alunos afirmaram que
por falta de costume em escrever ao contrário‟, erraram ao reproduzir a palavra
no papel.
Na sequência, apresentamos dois protocolos escritos com a respectiva
identificação do erro (Figura 3 e 4). No caso da figura 3, a aluna não inverteu a
letra S:

3
Na figura 4, a aluna manteve a ordem original das letras:

4

PROBLEMA ENVOLVENDO A HOMOTETIA

O segundo problema foi trabalhado com a turma do 7º ano, aquela com
maior número de alunos matriculados, 28 no total. A professora fez a leitura do
enunciado coletivamente e, mediante ao questionamento de um aluno („vai valer
quanto na nota bimestral?‟), foi explicado que a atividade não geraria „bônus‟
(benefício) na média do quarto bimestre.
O fato de não ter associado a tarefa com uma „nota‟ não despertou
interesse e compromisso dos alunos quanto à resolução do problema. Na questão
„Um arquiteto recebeu uma planta de um cômodo na escala 1:100 e deve
modificá-la até obter uma escala de 1:50. Ele deve aumentar ou diminuir as
dimensões da planta? Em quantas vezes?‟, apenas dois alunos responderam as
duas questões corretamente. A maioria dos alunos escreveu que o arquiteto
deveria „diminuir‟ a planta.
Ao questionar os alunos, observei que eles não perceberam que a escala
é uma forma de razão, a qual “estabelece uma comparação multiplicativa entre
duas grandezas, denotada por a/b, ou a:b (a está para b), em que „a‟ é
denominado antecedente e „b‟ é denominado consequente” (Onuchic, Allevato,
2008, p.96-97, negrito das autoras).
Na etapa de compreensão do problema, os alunos não conseguiram
observar quais são os condicionantes, ou seja, aquilo que estabelece condições
para que a planta de um cômodo seja modificada na escala 1:100 para 1:50. Ao
escrever que as dimensões da planta devem ser diminuídas pela metade, os alunos consideraram apenas a comparação envolvendo os valores do termo „b‟
(consequente).
A professora coletivamente com os alunos fez o retrospecto das
resoluções apresentadas para que os mesmos observassem que as respostas, na
maioria errada ou incompleta, não satisfizeram os condicionantes do problema.
Para refazer o ciclo das quatro etapas fundamentais e necessárias para a
resolução de problemas, segundo Polya (1978), a professora propôs aos alunos o
uso do papel quadriculado, o qual é muito incentivado como orientação didáticapedagógica contida no livro didático adotado pelos professores de matemática da
referida escola. Atrelado a isto, foi oferecido um problema similar ao original: „faça
um desenho e com o auxílio da malha quadriculada, amplie-o em duas vezes‟.
Na correção das atividades dos alunos, alguns realizaram a ampliação
solicitada, porém sem utilizar a malha quadriculada, o que comprometeu a escala
(razão) proposta, conforme exemplo a seguir:

5

Encontramos outras produções dos alunos que utilizaram a escala
corretamente, porém, no desenho do polígono, não houve o uso da régua,
contrariando a orientação da professora. A seguir mostramos a homotetia
aplicada no desenho do quadrado:

6

Este problema similar propiciou revisarmos as etapas de resolução de
problemas, pois o desempenho dos alunos melhorou, embora a resistência de vários estudantes quanto à resolução do problema por conta da ausência da
nota‟ permaneceu.

Bibliografia:

Possuo mestrado e doutorado em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Campinas. Atualmente sou professor associado da Universidade Federal de São Carlos. Atuo no curso de Licenciatura em Matemática e em dois programas de Pós-Graduação (PPGECE e PROFMAT). Desde 2012 sou líder do grupo de pesquisa GEPLAM (www.geplam.ufscar.br). Desenvolvo pesquisas na área de semiótica, avaliação, letramento (estatístico ou probabilístico) e Estado da Arte.

 

 

Contato: paulooliveira@ufscar.br ou paulodfqm@gmail.com (Texto informado pelo autor).currículo lattes em 25/11/2018.

http://Endereço para acessar este CV: http://lattes.cnpq.br/7516513469811353

site: GEPLAM

Grupo de Estudo e Planejamento de Aulas de Matemática:

http://www.geplam.ufscar.br/coordenacao.html

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